Gauss i paràbola per estudiar els fluxos lluminosos de LED d'una làmpada experimental: 6 passos

2024 Autora: John Day | [email protected]. Última modificació: 2024-01-30 08:11

Hola a tots els creadors i a la bulliciosa comunitat de Instructable.

Aquesta vegada Merenel Research us aportarà un pur problema de recerca i una manera de resoldre-ho amb matemàtiques.

Vaig tenir aquest problema jo mateix mentre calculava els fluxos de LED d’una làmpada LED RGB que vaig construir (i que ensenyaré a construir). Després de mirar extensament en línia no vaig trobar cap resposta, així que aquí publico la solució.

EL PROBLEMA

Molt sovint en física hem de tractar corbes que tenen la forma de la distribució gaussiana. Sí! És la corba en forma de campana que s’utilitza per calcular la probabilitat i ens la va aportar el gran matemàtic Gauss.

La corba de Gauss s'utilitza àmpliament en aplicacions físiques de la vida real, especialment quan hem de tractar la radiació propagada des d'una font o rebuda d'un receptor, per exemple:

- l’emissió de la potència d’un senyal de ràdio (per exemple, el Wi-Fi);

- el flux lluminós emès per un LED;

- la lectura d’un fotodiode.

A la fitxa tècnica del fabricant se’ns dóna sovint el valor real de l’àrea del Gauss, que seria la potència radiant total o el flux lluminós en una determinada porció d’espectre (per exemple, d’un LED), però es fa difícil calcular la radiació real emès al pic de la corba o encara més difícil de conèixer la radiació superposada de dues fonts properes, per exemple, si estem il·luminant amb més d’un LED (per exemple, Blau i Verd).

En aquest document instructiu us explicaré com aproximar el gaussià amb una forma més fàcil de copsar una corba: una paràbola. Respondré a la pregunta: quantes corbes gaussianes hi ha en una paràbola?

SPOILER → LA RESPOSTA ÉS:

L'àrea gaussiana sempre és d'1 unitat.

L’àrea de la paràbola corresponent amb la mateixa base i alçada és 2,13 vegades més gran que l’àrea relativa de Gauss (vegeu la imatge per a la demostració gràfica).

Per tant, un gaussià és el 46,94% de la seva paràbola i aquesta relació sempre és certa.

Aquests dos nombres es relacionen d'aquesta manera 0.46948 = 1 / 2.13, aquesta és la relació matemàtica estricta entre una corba de Gauss i la seva paràbola i viceversa.

En aquesta guia us conduiré a descobrir aquest pas a pas.

L'únic instrument que necessitarem és Geogebra.org, una gran eina matemàtica en línia per dibuixar gràfics.

El gràfic de Geogebra que he fet per comparar una paràbola amb una gaussiana es troba en aquest enllaç.

Aquesta instrucció és llarga perquè tracta d'una demostració, però si heu de solucionar ràpidament el mateix problema que he tingut amb els fluxos lluminosos de LED o amb un altre fenomen amb corbes gaussianes superposades, només cal que salteu al full de càlcul que trobareu adjunt al pas. 5 d'aquesta guia, que us facilitarà la vida i us farà tots els càlculs automàticament.

Espero que us agradin les matemàtiques aplicades perquè això és instructiu.

Pas 1: entendre la llum emesa per un LED monocromàtic

En aquesta anàlisi, consideraré una sèrie de LEDs de colors, tal com es veu clarament pel seu gràfic d’espectres (primera imatge), la seva distribució de potència espectral realment sembla un Gauss que convergeix en l’eix x a -33 i + 33 nm de la mitjana (fabricants sol donar aquesta especificació). Tanmateix, tingueu en compte que la representació d’aquest gràfic normalitza tots els espectres d’una sola unitat de potència, però els LED tenen una potència diferent segons l’eficiència en què es fabriquen i la quantitat de corrent elèctric (mA) que els alimenteu.

Com podeu veure, de vegades, el flux lluminós de dos LED es superposa a l'espectre. Diguem que fàcilment vull calcular l'àrea superposada d'aquestes corbes, perquè en aquesta àrea hi haurà la quantitat de potència doble i vull saber quanta potència en temes de llum (lm) tenim allà, bé això no és una tasca senzilla que intentarem respondre en aquesta guia. El problema va sorgir perquè quan estava construint la làmpada experimental, volia saber fins a quin punt es superposaven l’espectre Blau i Verd.

Ens centrarem només en els LED monocromàtics que són els que emeten en una porció estreta de l’espectre. Al gràfic: BLAU REAL, BLAU, VERD, VERMELL TARONJA, VERMELL. (La llum real que construeix és RGB)

ANTECEDENTS DE FÍSICA

Rebobinem una mica i fem una mica d’explicació de física al principi.

Cada LED té un color, o més científicament diríem que té una longitud d’ona (λ) que el determina i que es mesura en nanòmetres (nm) i λ = 1 / f, on f és la freqüència d’oscil·lació del fotó.

Així doncs, el que anomenem VERMELL és bàsicament un (gran) munt de fotons que oscil·len a 630 nm; aquests fotons colpegen la matèria i reboten als nostres ulls, que actuen com a receptors, i després el cervell processa el color de l’objecte com a VERMELL; o bé els fotons podrien entrar directament als ulls i veureu el LED que els emet brillant en color VERMELL.

Es va descobrir que el que anomenem llum és en realitat només una petita porció de l’espectre electromagnètic, entre 380nm i 740nm; de manera que la llum és una ona electromagnètica. El que és curiós d’aquesta porció de l’espectre és que és precisament el tros de l’espectre el que passa més fàcilment per l’aigua. Endevina què? Els nostres avantpassats antics de la Sopa Primordial es trobaven realment a l’aigua, i és a l’aigua on els primers éssers vius, més complexos, van començar a desenvolupar-se els ulls. Us proposo que vegeu el vídeo de Kurzgesagt que he adjuntat per entendre millor què és la llum.

En resum, un LED emet llum, que és una quantitat determinada de potència radiomètrica (mW) a una determinada longitud d'ona (nm).

Normalment, quan es tracta de llum visible no parlem de potència radiomètrica (mW) sinó de flux lluminós (lm), que és una unitat de mesura pesada a la resposta a la llum visible dels ulls dels humans, es deriva de la forma candela unitat de mesura, i es mesura en lumen (lm). En aquesta presentació considerarem els lúmens emesos en forma de LED, però tot s'aplicarà a mW exactament en la mateixa mesura.

En qualsevol full de dades de LED, el fabricant us proporcionarà aquests trossos d'informació:

Per exemple, en aquest full de dades adjunt veieu que si alimenteu els dos leds amb 100mA teniu això:

BLAU és a 480 nm i té 11 lm de flux lluminós;

GREEN és a 530 nm i té 35 lm de flux lluminós.

Això vol dir que la corba gaussiana del blau serà més alta, augmentarà més, sense modificar-ne l’amplada i oscil·larà al voltant de la porció delimitada per la línia blava. En aquest article explicaré com calcular l’altura del Gauss que expressa la potència màxima màxima emesa pel LED, no només la potència emesa en aquesta porció d’espectre, malauradament aquest valor serà inferior. A més, intentaré aproximar la part superposada dels dos LED per entendre la quantitat de flux lluminós que se superposa quan es tracta de LED que són "veïns" de l'espectre.

Mesurar el flux de LED és una qüestió molt complexa, si teniu ganes de saber-ne més, he penjat un document detallat d’Osram que explica com es fan les coses.

Pas 2: Introducció a la paràbola

No entraré en molts detalls sobre què és una paràbola, ja que s’estudia extensament a l’escola.

Una equació d'una paràbola es pot escriure en la forma següent:

y = ax ^ 2 + bx + c

ARQUIMÈDES ENS AJUDA

El que voldria subratllar és un important teorema geomètric d’Arquimedes. El que diu el teorema és que l’àrea d’una paràbola limitada en un rectangle és igual als 2/3 de l’àrea del rectangle. A la primera imatge amb la paràbola es pot veure que la zona blava és de 2/3 i les zones roses són 1/3 de la zona del rectangle.

Podem calcular la paràbola i la seva equació coneixent tres punts de la paràbola. En el nostre cas calcularem el vèrtex i coneixem les interseccions amb l’eix x. Per exemple:

LED BLAU Vèrtex (480,?) La Y del vèrtex és igual a la potència lluminosa emesa a la longitud d’ona màxima. Per calcular-lo utilitzarem la relació que existeix entre l'àrea d'un gaussià (flux real emès pel LED) i la d'una paràbola i utilitzarem el teorema d'Arquimedes per conèixer l'alçada del rectangle que conté aquesta paràbola.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MODEL PARABOLLIC

Veient la imatge que he penjat podeu veure un model complex per representar amb paràboles diversos fluxos lluminosos LED diferents, però sabem que la seva representació no és exactament així, ja que s’assembla més a un gaussià.

Tanmateix, amb paràboles, utilitzant fórmules matemàtiques, podem trobar tots els punts d’intersecció de diverses paràboles i calcular les àrees que es tallen.

Al pas 5 he adjuntat un full de càlcul en el qual he posat totes les fórmules per calcular totes les paràboles i les seves zones intersectades dels LED monocromàtics.

Normalment, la base del gaussià d’un LED és gran 66nm, de manera que si coneixem la longitud d’ona dominant i aproximem la radiació LED amb una paràbola sabem que la paràbola relativa tallarà l’eix x en λ + 33 i λ-33.

Es tracta d’un model que aproxima una llum total emesa per LED amb paràbola. Però sabem que si volem ser precisos no és exactament correcte, hauríem d’utilitzar una corba de Gauss, que ens portarà al següent pas.

Pas 3: Introducció a la corba de Gauss

Un gaussià és una corba que sonarà més complexa que una paràbola. Va ser inventat per Gauss per interpretar els errors. De fet, aquesta corba és molt útil per veure la distribució probabilística d’un fenomen. En la mesura que avancem cap a l’esquerra o la dreta des de la mitjana, tenim un cert fenomen menys freqüent i, com podeu veure a la darrera imatge, aquesta corba és una aproximació molt bona de les ocurrències de la vida real.

La fórmula de Gauss és la que fa por que es veu com a segona imatge.

Les propietats gaussianes són:

- és simètric respecte a la mitjana;

- x = μ no només coincideix amb la mitjana aritmètica, sinó també amb la mediana i el mode;

- és asimptòtic a l'eix x de cada costat;

- disminueix per xμ;

- té dos punts d'inflexió a x = μ-σ;

- l'àrea sota la corba és d'1 unitat (sent la probabilitat que qualsevol x verifiqui)

σ és la desviació estàndard, com més gran sigui el nombre més gran és la base gaussiana (primera imatge). Si un valor es troba a la porció 3σ, sabríem que realment s’allunya de la mitjana i hi ha menys probabilitats que passi.

En el nostre cas, amb LEDs, coneixem l’àrea del Gauss que és el flux lluminós donat a la fitxa tècnica del fabricant a un pic de longitud d’ona determinat (que és la mitjana).

Pas 4: demostració amb Geogebra

En aquesta secció us explicaré com utilitzar Geogebra per demostrar que una paràbola és 2,19 vegades la seva gaussiana.

En primer lloc, heu de crear un parell de variables fent clic a l'ordre lliscant:

La desviació estàndard σ = 0,1 (la desviació estàndard defineix l'amplitud de la corba de Gauss, he posat un valor petit perquè volia fer-la estreta per simular una distribució de potència espectral LED)

La mitjana és 0, de manera que el Gauss es construeix a l’eix y, on és més fàcil treballar.

Feu clic a la funció d'ona petita per activar la secció de funcions; allà fent clic a fx, podeu inserir la fórmula gaussiana i veureu que apareix a la pantalla una bonica corba gaussiana alta.

Gràficament veureu on convergeix la corba en l'eix x, en el meu cas a X1 (-0,4; 0) i X2 (+0,4; 0) i on es troba el vèrtex a V (0; 4).

Amb aquest tres punts teniu prou informació per trobar l’equació de la paràbola. Si no voleu fer càlculs a mà, no dubteu a utilitzar aquest lloc web o el full de càlcul al següent pas.

Utilitzeu l'ordre function (fx) per omplir la funció de paràbola que acabeu de trobar:

y = -25x ^ 2 +4

Ara hem d’entendre quants gaussians hi ha en una paràbola.

Haureu d'utilitzar l'ordre function i inserir l'ordre Integral (o Integrale en el meu cas, ja que estava fent servir la versió italiana). La integral definida és l’operació matemàtica que ens permet calcular l’àrea d’una funció definida entre x valors. Si no recordeu què és una integral definida, llegiu aquí.

a = integral (f, -0,4, +0,4)

Aquesta fórmula de Geogebra resoldrà la integral definida entre -0,4 i +0,4 de la funció f, la gaussiana. Com que estem tractant amb un gaussià, la seva àrea és 1.

Feu el mateix amb la paràbola i descobrireu el número màgic 2.13. Quin és el número clau per fer totes les conversions de flux lluminós amb LED.

Pas 5: Exemple de la vida real amb LED: càlcul del pic de flux i dels fluxos superposats

FLUX LLUMINOS AL CIM

Calcular l’alçada real de les corbes gaussianes de la distribució del flux LED, ara que hem descobert el factor de conversió 2.19, és molt fàcil.

per exemple:

El LED BLAU té 11lm de flux lluminós

- convertim aquest flux de gaussià a parabòlic 11 x 2,19 = 24,09

- fem servir el teorema d’Arquimedes per calcular l’àrea del rectangle relatiu que conté la paràbola 24,09 x 3/2 = 36,14

- trobem l’alçada d’aquest rectangle que divideix per a la base del Gauss per al LED BLAU, donada al full de dades o que es veu al gràfic del full de dades, normalment al voltant dels 66nm, i aquesta és la nostra potència al màxim de 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

ZONES DE FLUX LUMINOSOS QUE SE SUPERAPEN

Per calcular dues radiacions superposades, explicaré amb un exemple amb els dos LED següents:

BLAU a 480nm i 11lm de flux lluminós GREEN a 530nm i 35lm de flux lluminós

Sabem i veiem pel gràfic que les dues corbes de Gauss convergeixen en -33nm i + 33nm, per tant sabem que:

- EL BLAU talla l’eix x en 447nm i 531nm

- EL VERD talla l’eix x en 497nm i 563nm

Veiem clarament que les dues corbes es creuen ja que un dels extrems de la primera es troba després del començament de l’altre (531 nm> 497 nm), de manera que la llum d’aquests dos LED es superposa en alguns punts.

Primer hem de calcular l’equació de la paràbola per a tots dos. El full de càlcul adjunt és aquí per ajudar-vos amb els càlculs i ha incrustat les fórmules per resoldre el sistema d’equacions per determinar les dues paràboles sabent els punts d’eix x que tallen el punt i el vèrtex:

Paràbola BLAU: y = -0.0004889636025x ^ 2 + 0.4694050584x -112.1247327

Paràbola VERDA: y = -0.001555793281x ^ 2 + 1.680256743x - 451.9750618

en ambdós casos un> 0 i, de manera que la paràbola apunta correctament de cap per avall.

Per demostrar que aquestes paràboles són correctes, només cal que empleneu a, b, c a la calculadora de vèrtex d’aquest lloc web de calculadores de paràboles.

Al full de càlcul ja es fa tot el càlcul per trobar els punts d’intersecció entre les paràboles i calcular la integral definida per obtenir les àrees que es tallen entre aquestes paràboles.

En el nostre cas, les zones intersectades dels espectres de LEDs blaus i verds són de 0,4247.

Un cop tinguem les paràboles que es creuen, podem multiplicar aquesta recentment fundada àrea d’intersecció per al multiplicador gaussià 0.4694 i trobar una aproximació molt propera de la quantitat de potència que emeten els LED junts en total en aquesta secció de l’espectre. Per trobar el flux LED únic emès en aquesta secció, només heu de dividir per 2.

Pas 6: L'estudi dels LEDs monocromàtics de la làmpada experimental ja s'ha completat

Bé, moltes gràcies per llegir aquesta investigació. Espero que us sigui útil per comprendre profundament com s’emet la llum d’un llum.

Jo estudiava els fluxos dels LED d’una làmpada especial feta amb tres tipus de LEDs monocromàtics.

Els "ingredients" per fer aquest llum són:

- 3 LED BLU

- 4 LED VERD

- 3 LED VERMELL

- 3 resistències per limitar el corrent a les branques del circuit LED

- Alimentació 12V 35W

- Coberta acrílica en relleu

- Control OSRAM OT BLE DIM (unitat de control LED Bluetooth)

- Dissipador de calor d'alumini

- Negres i femelles M5 i claudàtors L.

Controleu-ho tot amb l’aplicació Casambi des del vostre telèfon intel·ligent; podeu encendre i atenuar cada canal LED per separat.

Construir la làmpada és molt senzill:

- fixeu el LED al dissipador de calor amb cinta de doble cara;

- Soldeu tots els LED BLU de sèrie amb una resistència i feu el mateix amb l’altre color per a cada branca del circuit. Segons els LEDs que escolliu (he utilitzat el LED Lumileds), haureu de triar la mida de la resistència en relació amb la quantitat de corrent que alimentareu al LED i amb la tensió total donada per la font d'alimentació de 12V. Si no sabeu com fer-ho, us suggereixo que llegiu aquest fantàstic instructiu sobre com determinar la mida d’una resistència per limitar el corrent d’una sèrie de LEDs.

- connecteu els cables a cada canal de l’Osram OT BLE: tot el positiu principal de les branques dels LED passa al comú (+) i els tres negatius de les branques passen respectivament a -B (blau) -G (verd)) -R (vermell).

- Connecteu la font d'alimentació a l'entrada de l'Osram OT BLE.

Ara, el que és interessant de l’Osram OT BLE és que podeu crear escenaris i programar els canals LED, com podeu veure a la primera part del vídeo que estic tenyint els tres canals i a la segona part del vídeo que estic fent servir alguns escenaris de llum prefabricats.

CONCLUSIONS

He utilitzat àmpliament les matemàtiques per entendre profundament com es propagarien els fluxos d’aquestes làmpades.

Realment espero que hagueu après alguna cosa útil avui i faré tot el possible per portar a casos més instructius de recerca aplicada profunda com aquesta.

La investigació és la clau!

Tan llarg!

Pietro