Pèndol invertit: teoria i dinàmica del control: 17 passos (amb imatges)

2024 Autora: John Day | [email protected]. Última modificació: 2024-01-30 08:13

El pèndol invertit és un problema clàssic de la teoria de la dinàmica i el control que generalment s’elabora en cursos de física o matemàtiques de batxillerat i de grau. Com que jo mateix era un entusiasta de les matemàtiques i les ciències, vaig decidir intentar implementar els conceptes que vaig aprendre durant les classes per construir un pèndol invertit. L’aplicació d’aquests conceptes a la vida real no només ajuda a enfortir la vostra comprensió dels conceptes, sinó que també us exposa a una nova dimensió de problemes i reptes que tracten situacions de la pràctica i de la vida real que mai no es poden trobar a les classes de teoria.

En aquest instructiu, introduiré primer el problema del pèndol invertit, després tractaré l’aspecte teòric del problema i després parlaré del maquinari i el programari necessaris per donar vida a aquest concepte.

Us suggereixo que mireu el vídeo que s’adjunta més amunt mentre passeu per allò instructiu que us donarà una millor comprensió.

I, finalment, no us oblideu de deixar votar al "Concurs de ciències de l'aula" si us ha agradat aquest projecte i no dubteu a deixar cap pregunta a la secció de comentaris a continuació. Feliç fer!:)

Pas 1: el problema

El problema del pèndol invertit és anàleg a equilibrar una escombra o un pal llarg al palmell de la mà, cosa que la majoria de nosaltres hem provat de petit. Quan els nostres ulls veuen que el pol cau cap a un costat determinat, envien aquesta informació al cervell que realitza determinats càlculs i després li indica al braç que es mogui a una posició determinada amb una certa velocitat per contrarestar el moviment del pol, cosa que, amb sort, portaria inclinant el pal cap enrere cap a la vertical. Aquest procés es repeteix diversos centenars de vegades per segon, cosa que manté el pol completament sota el vostre control. El pèndol invertit funciona de manera similar. L’objectiu és equilibrar un pèndol cap per avall sobre un carro que es pugui moure. En lloc dels ulls, s'utilitza un sensor per detectar la posició del pèndol que envia la informació a un ordinador que realitza determinats càlculs i indica als actuadors que moguin el carro de manera que el pèndol es torni a verticalitzar.

Pas 2: la solució

Aquest problema d’equilibrar un pèndol cap per avall requereix conèixer els moviments i les forces que es juguen en aquest sistema. Finalment, aquesta visió ens permetrà trobar "equacions de moviment" del sistema que es puguin utilitzar per calcular relacions entre la sortida que va als actuadors i les entrades que provenen dels sensors.

Les equacions del moviment es poden derivar de dues maneres, segons el vostre nivell. Es poden derivar utilitzant les lleis bàsiques de Newton i algunes matemàtiques a nivell de batxillerat o utilitzant la mecànica lagrangiana que generalment s’introdueix en cursos de física de primer cicle. (Nota: derivar les equacions del moviment mitjançant les lleis de Newton és senzill però tediós, mentre que l'ús de la mecànica lagrangiana és molt més elegant, però requereix la comprensió de la mecànica lagrangiana, tot i que ambdós enfocaments acaben conduint a la mateixa solució).

Tots dos enfocaments i les seves derivacions formals solen tractar-se a les classes de secundària o de pregrau sobre matemàtiques o física, tot i que es poden trobar fàcilment mitjançant una simple cerca a Google o visitant aquest enllaç. Observant les equacions finals del moviment observem una relació entre quatre quantitats:

• L’angle del pèndol cap a la vertical
• La velocitat angular del pèndol
• L’acceleració angular del pèndol
• L’acceleració lineal del carretó

Quan les tres primeres són quantitats que el sensor mesurarà i l'última quantitat serà enviada a l'actuador per realitzar-la.

Pas 3: teoria de control

La teoria del control és un subcamp de les matemàtiques que s’ocupa de controlar i operar sistemes dinàmics en processos i màquines d’enginyeria. L'objectiu és desenvolupar un model de control o un bucle de control per aconseguir generalment l'estabilitat. En el nostre cas, equilibra el pèndol cap per avall.

Hi ha dos tipus principals de bucles de control: control de bucle obert i control de bucle tancat. En implementar un control de bucle obert, l'acció de control o l'ordre del controlador són independents de la sortida del sistema. Un bon exemple d'això és un forn, on la quantitat de temps que el forn roman en funcionament depèn purament del temporitzador.

Mentre que en un sistema de bucle tancat, l'ordre del controlador depèn de la retroalimentació de l'estat del sistema. En el nostre cas, la retroalimentació és l’angle del pèndol en referència al normal que determina la velocitat i la posició del carretó, cosa que fa d’aquest sistema un sistema de bucle tancat. Adjunt a sobre hi ha una representació visual en forma de diagrama de blocs d’un sistema de bucle tancat.

Hi ha diverses tècniques de mecanisme de retroalimentació, però una de les més utilitzades és el controlador derivat proporcional-integral (controlador PID), que és el que farem servir.

Nota: La comprensió del funcionament d’aquests controladors és molt útil per desenvolupar un controlador reeixit, tot i que l’explicació de les operacions d’aquest controlador està fora de l’abast d’aquest instructiu. Per si no heu trobat aquest tipus de controladors al vostre curs, hi ha un munt de material en línia i us ajudarà una simple cerca a Google o un curs en línia.

Pas 4: implementació d’aquest projecte a la vostra aula

Grup d'edat: aquest projecte s'adreça principalment a estudiants de batxillerat o estudiants universitaris, però també es pot presentar als nens més petits simplement com a demostració donant una visió general dels conceptes.

Conceptes tractats: els conceptes principals que es tracten amb aquest projecte són la dinàmica i la teoria del control.

Temps necessari: un cop totes les peces estan reunides i fabricades, el muntatge triga de 10 a 15 minuts. Crear el model de control requereix una mica més de temps, per això, es pot donar als estudiants de 2 a 3 dies. Una vegada que cada estudiant (o grups d’estudiants) ha desenvolupat els seus respectius models de control, es pot utilitzar un altre dia per demostrar els individus o els equips.

Una manera d’implementar aquest projecte a la vostra aula seria construir el sistema (descrit en els passos següents), mentre el lot treballa els subtemes de física relacionats amb la dinàmica o mentre estudien els sistemes de control a les classes de matemàtiques. D’aquesta manera, les idees i els conceptes que troben durant la classe es poden implementar directament en una aplicació del món real, fent que els seus conceptes siguin molt més clars perquè no hi ha millor manera d’aprendre un concepte nou que implementant-lo a la vida real.

Es pot construir un sistema únic, junts com a classe i després es pot dividir la classe en equips, construint cadascun un model de control des de zero. A continuació, cada equip pot demostrar el seu treball en un format de competició, on el millor model de control és el que pot equilibrar més temps i suportar empentes i empènyer de manera robusta.

Una altra manera d’implementar aquest projecte a la vostra aula seria fer que els nens més grans (a batxillerat més o menys), desenvolupessin aquest projecte i demostreu-ho als nens més petits, tot oferint-los una visió general de la dinàmica i els controls. Això no només pot provocar interès per la física i les matemàtiques als nens més petits, sinó que també ajudarà els estudiants més grans a cristal·litzar els seus conceptes de la teoria, perquè una de les millors maneres de reforçar els vostres conceptes és explicant-ho a altres persones, especialment als nens més petits, ja que requereix per formular les vostres idees d’una manera molt senzilla i clara.

Pas 5: peces i subministraments

Es permetrà que el carretó es pugui moure lliurement sobre un conjunt de rails donant-li un sol grau de llibertat. A continuació, es detallen les peces i subministraments necessaris per fabricar el pèndol i el sistema de carros i rails:

Electrònica:

• Una placa compatible amb Arduino, qualsevol funcionarà. Us recomano un Uno en cas que no tingueu massa experiència en electrònica perquè serà més senzill seguir-lo.
• Un motor pas a pas Nema17, que funcionarà com a actuador del carretó.
• Un controlador de motor pas a pas, una vegada més qualsevol cosa funcionarà, però recomano el controlador de motor pas a pas A4988 perquè serà més senzill seguir-lo.
• Un MPU-6050 de sis eixos (giroscopi + acceleròmetre), que detectarà els diversos paràmetres com l’angle i la velocitat angular del pèndol.
• Una font d’alimentació de 12v 10A, 10A, és en realitat un lleuger excés per a aquest projecte específic, tot el que sigui superior a 3A funcionarà, però tenir la possibilitat d’extreure un corrent addicional permet desenvolupar-lo en el futur on es pugui necessitar més energia.

Maquinari:

• 16 x coixinets, jo feia servir coixinets de skateboard i funcionaven molt bé
• 2 politges i corretja GT2
• Aproximadament 2,4 metres de canonada de PVC de 1,5 polzades
• Munt de cargols i femelles de 4 mm

Algunes de les parts que es van utilitzar en aquest projecte també es van imprimir en 3D, per tant, tenir una impressora 3D serà molt útil, tot i que normalment hi ha instal·lacions d'impressió 3D locals o en línia.

El cost total de totes les peces és només una mica inferior a 50 $ (excloent la impressora 3D)

Pas 6: peces impreses en 3D

Algunes de les parts del sistema de carretons i rails havien de ser personalitzades, de manera que vaig fer servir Autodesk's gratuïtament per utilitzar Fusion360 per modelar els fitxers CAD i imprimir-los en una impressora 3D.

Algunes de les peces que tenien formes purament 2D, com el pèndol i el llit de pòrtic, van ser tallades amb làser, ja que eren molt més ràpides. Tots els fitxers STL s’adjunten a la carpeta comprimida a continuació. Aquí hi ha una llista completa de totes les parts:

• 2 x corró de pòrtic
• 4 x taps finals
• 1 x suport de pas a pas
• 2 x suport de coixinets de roda de ralentí
• 1 x suport de pèndol
• 2 x fixació del cinturó
• 1 x Suport del coixinet de pèndol (a)
• 1 x suport de coixinet de pèndol (b)
• 1 x separador de forat de politja
• 4 espaiadors de forats de coixinet
• 1 x placa de pòrtic
• 1 x placa portapassos
• 1 x placa de suport de politja de ralentí
• 1 x Pèndol (a)
• 1 x Pèndol (b)

En total hi ha 24 parts, que no triguen massa a imprimir-se, ja que les peces són petites i es poden imprimir juntes. Al llarg d’aquest instructiu, em referiré a les parts basades en els noms d’aquesta llista.

Pas 7: Muntatge dels rodets de pòrtic

Els rodets de pòrtic són com les rodes del carro. Aquests rodaran al llarg de la pista de PVC que permetrà que el carretó es mogui sense problemes amb una fricció mínima. Per a aquest pas, agafeu els dos rodets de pòrtic impresos en 3D, 12 coixinets i un munt de femelles i cargols. Necessitareu 6 coixinets per corró. Col·loqueu els coixinets al rodet amb les femelles i els cargols (utilitzeu les imatges com a referència). Un cop fets els rodets, feu-los lliscar sobre la canonada de PVC.

Pas 8: Muntatge del sistema d'accionament (motor pas a pas)

El carretó serà conduït per un motor pas a pas estàndard Nema17. Preneu el motor al suport del pas a pas mitjançant els cargols que haurien d'haver estat equipats amb el pas a pas. A continuació, cargoleu el suport a la placa del suport del pas a pas, alineeu els 4 forats del suport amb els 4 de la placa i utilitzeu femelles i cargols per fixar els dos junts. A continuació, munteu la politja GT2 a l’eix del motor i fixeu els 2 taps finals a la placa del suport del pas a pas des de la part inferior utilitzant més femelles i cargols. Un cop fet, podeu lliscar els taps finals cap a les canonades. En cas que l’ajust sigui massa correcte en lloc de forçar els taps finals a les canonades, recomano polir la superfície interna del tap final imprès en 3D fins que l’ajust sigui ajustat.

Pas 9: Muntatge del sistema d'accionament (politja de ralentí)

Les femelles i cargols que feia servir tenien un diàmetre de 4 mm, tot i que els orificis de la politja i els coixinets eren de 6 mm, motiu pel qual vaig haver d’adaptar els adaptadors d’impressió 3D i empènyer-los als forats de la politja i els coixinets perquè no vacil·lar al parabolt. Si teniu rosques i cargols de la mida adequada, no necessitareu aquest pas.

Introduïu els coixinets al suport del coixinet de roda de ralentí. Una vegada més si l’ajust és massa ajustat, utilitzeu paper de vidre per polir lleugerament la paret interior del suport del rodament de la politja de ralentí. Passeu un cargol per un dels coixinets i, a continuació, feu lliscar una politja sobre el cargol i tanqueu l'altre extrem amb el segon conjunt de suports de rodament i roda de roda de roda.

Un cop fet això, fixeu el parell de suports de rodets de politges de ralentí a la placa de suport de politges de ralentí i fixeu els taps finals a la cara inferior d’aquesta placa, de manera similar al pas anterior. Finalment, tapeu l’extrem oposat de les dues canonades de PVC mitjançant aquests taps finals. Amb això, els rails del carretó s’acaben.

Pas 10: Muntatge del pòrtic

El següent pas és construir el carretó. Col·loqueu els dos corrons junts mitjançant la placa de pòrtic i els 4 cargols i femelles. Les plaques de pòrtic tenen ranures perquè pugueu ajustar la posició de la placa per fer lleus ajustaments.

A continuació, munteu els dos accessoris del cinturó a banda i banda de la placa de pòrtic. Assegureu-vos de fixar-los des de la part inferior, en cas contrari, el cinturó no estarà al mateix nivell. Assegureu-vos de passar també els cargols des de la part inferior, perquè en cas contrari, si els cargols són massa llargs, poden provocar una obstrucció al cinturó.

Finalment, fixeu el suport del pèndol a la part frontal del carretó mitjançant cargols i femelles.

Pas 11: Muntatge del pèndol

El pèndol es va fer en dues peces simplement per estalviar material. Podeu enganxar les dues peces alineant les dents i supergluant-les. Torneu a empènyer els separadors de forats dels coixinets als dos coixinets per compensar els diàmetres de cargol més petits i, a continuació, empenyeu els coixinets als forats de coixinet de les dues peces del suport del coixinet de pèndol. Preneu les dues parts impreses en 3D a cada costat de l’extrem inferior del pèndol i assegureu-les juntes amb 3 femelles i cargols que passen pels suports del coixinet de pèndol. Passeu un cargol pels dos coixinets i fixeu l'altre extrem amb una femella corresponent.

A continuació, agafeu el MPU6050 i poseu-lo a l'extrem oposat del pèndol mitjançant cargols de muntatge.

Pas 12: muntatge del pèndol i les corretges

El pas final és muntar el pèndol al carro. Feu-ho passant el cargol que anteriorment havíeu passat pels dos coixinets del pèndol, pel forat del suport del pèndol que s’adjunta a la part frontal del carro i utilitzeu una femella a l’altre extrem per fixar el pèndol al carro.

Finalment, agafeu el cinturó GT2 i fixeu primer un extrem a un dels accessoris del cinturó que es fixa al carretó. Per a això, he utilitzat un elegant clip de cinturó imprimible en 3D que s’enganxa a l’extrem del cinturó i evita que rellisqui per la ranura estreta. Els stls d'aquesta peça es poden trobar a Thingiverse mitjançant aquest enllaç. Emboliqueu la corretja al voltant de la politja pas a pas i la politja de ralentí i fixeu l’altre extrem de la corretja a la peça de fixació de la corretja a l’extrem oposat del carro. Tenseu el cinturó sense assegurar-vos que no estrengeu massa o deixeu-lo perdre i, amb això, el vostre pèndol i carretó es completen.

Pas 13: cablejat i electrònica

El cablejat consisteix a connectar el MPU6050 a l'Arduino i el cablejat del sistema de transmissió. Seguiu l'esquema de cablejat adjunt anterior per connectar cada component.

MPU6050 a Arduino:

• GND a GND
• + 5v a + 5v
• SDA a A4
• SCL a A5
• Int a D2

Motor pas a pas per controlador pas a pas:

• Bobina 1 (a) a 1A
• Bobina 1 (b) a 1B
• Bobina 2 (a) a 2A
• Bobina 2 (b) a 2B

Controlador pas a pas per Arduino:

• GND a GND
• VDD a + 5v
• PAS A D3
• DIR a D2
• VMOT al terminal positiu de la font d'alimentació
• GND al terminal de terra de la font d'alimentació

Cal connectar els pins de repòs i restabliment del controlador de pas a pas amb un pont. I, finalment, és una bona idea connectar un condensador electrolític d’uns 100 uF en paral·lel amb els terminals positius i de terra de la font d’alimentació.

Pas 14: Control del sistema (control proporcional)

Inicialment, vaig decidir provar un sistema bàsic de control proporcional, és a dir, la velocitat del carro és simplement proporcional per un determinat factor a l’angle que fa el pèndol amb la vertical. Això volia ser simplement una prova per assegurar-se que totes les parts funcionaven correctament. Tot i que aquest sistema proporcional bàsic era prou robust per fer que el pèndol ja estigués equilibrat. El pèndol fins i tot podria contrarestar empentes suaus i empenta força robustos. Tot i que aquest sistema de control funcionava molt bé, encara tenia alguns problemes. Si es fa una ullada al gràfic de les lectures de l’IMU durant un temps determinat, podem notar clarament oscil·lacions a les lectures del sensor. Això implica que sempre que el controlador intenta fer una correcció, sempre supera la superació d’una certa quantitat, que és, de fet, la naturalesa mateixa d’un sistema de control proporcional. Aquest lleuger error es pot corregir implementant un tipus de controlador diferent que tingui en compte tots aquests factors.

A continuació s’adjunta el codi del sistema de control proporcional. El codi requereix el suport d'algunes biblioteques addicionals que són la biblioteca MPU6050, la biblioteca PID i la biblioteca AccelStepper. Es poden descarregar mitjançant el gestor de biblioteques integrat de l'IDE Arduino. Simplement aneu a Sketch >> Inclou biblioteca >> Gestiona biblioteques i, tot seguit, cerqueu PID, MPU6050 i AccelStepper a la barra de cerca i instal·leu-les simplement fent clic al botó Instal·la.

Tot i que, el meu consell per a tots els que sou aficionats a les ciències i les matemàtiques, seria intentar construir un controlador d’aquest tipus des de zero. Això no només enfortirà els vostres conceptes sobre les teories de dinàmiques i controls, sinó que també us donarà l’oportunitat d’implementar els vostres coneixements en aplicacions de la vida real.

Pas 15: Control del sistema (control PID)

En general, a la vida real, una vegada que un sistema de control demostra ser prou robust per a la seva aplicació, els enginyers solen acabar el projecte en lloc de complicar les situacions amb sistemes de control més complexos. Però, en el nostre cas, estem construint aquest pèndol invertit amb finalitats purament educatives. Per tant, podem intentar avançar cap a sistemes de control més complexos com el control PID, que pot resultar ser molt més robust que un sistema bàsic de control proporcional.

Tot i que el control PID era molt més complex d’implementar, un cop implementat correctament i trobant els paràmetres d’ajust perfectes, el pèndol es va equilibrar significativament millor. En aquest punt, també podria contrarestar les sacsejades lleugeres. Les lectures de l’IMU durant un temps determinat (adjuntades més amunt) també demostren que les lectures mai no s’allunyen massa per al valor de consigna desitjat, és a dir, la vertical, demostrant que aquest sistema de control és molt més eficaç i robust que el control proporcional bàsic.

Una vegada més, el meu consell per a tots aquells que sou entusiastes de les ciències i les matemàtiques seria intentar construir un controlador PID des de zero abans d’utilitzar el codi que s’adjunta a continuació. Això es pot prendre com un repte i, mai se sap, algú podria arribar a un sistema de control molt més robust que qualsevol cosa que s’hagi intentat fins ara. Tot i que ja hi ha disponible una biblioteca PID robusta per a Arduino, que va ser desenvolupada per Brett Beauregard i que es pot instal·lar des del gestor de la biblioteca a l’IDE Arduino.

Nota: cada sistema de control i el seu resultat es demostren al vídeo adjunt al primer pas.

Pas 16: Millores addicionals

Una de les coses que volia intentar era una funció "swing-up", on el pèndol inicialment penja sota del carro i el carretó fa uns quants moviments ràpids amunt i avall al llarg de la pista per fer pujar el pèndol des d'un penjant posició cap a una posició invertida cap per avall. Però això no es va fer amb la configuració actual perquè un cable llarg havia de connectar la unitat de mesura inercial a l'Arduino, per tant, un cercle complet fet pel pèndol pot haver fet que el cable es torci i s'enganxi. Aquest problema es pot resoldre mitjançant un codificador rotatiu connectat al pivot del pèndol en lloc d’una unitat de mesura inercial a la punta del mateix. Amb un codificador, el seu eix és l’únic que gira amb el pèndol, mentre que el cos es manté estacionari, cosa que significa que els cables no es torçaran.

Una segona característica que volia intentar era equilibrar un pèndol doble al carretó. Aquest sistema consta de dos pèndols connectats un darrere l’altre. Tot i que la dinàmica d’aquests sistemes és molt més complexa i requereix molta més investigació.

Pas 17: Resultats finals

Un experiment com aquest pot transformar l’estat d’ànim d’una classe de manera positiva. En general, la majoria de la gent prefereix ser capaç d’aplicar conceptes i idees per cristal·litzar-los, en cas contrari, les idees romanen “en l’aire”, cosa que fa que la gent tendeixi a oblidar-les més ràpidament. Aquest va ser només un exemple d’aplicar certs conceptes apresos durant la classe a una aplicació del món real, tot i que sens dubte despertarà entusiasme als estudiants per provar eventualment els seus propis experiments per provar les teories, cosa que farà que les seves futures classes siguin molt més animat, cosa que farà que vulguin aprendre més, cosa que els farà arribar a experiments més nous i aquest cicle positiu continuarà fins que les futures aules estiguin plenes d’experiments i projectes tan divertits i agradables.

Espero que aquest sigui el començament de molts més experiments i projectes. Si us ha agradat aquest instructiu i us ha semblat útil, envieu un vot a continuació al "Concurs de ciències de l'aula" i qualsevol comentari o suggeriment és benvingut. Gràcies!:)

Accèssit al concurs de ciències de l’aula